Matematički svijet: Aristotelijanski realizam kao novi početak

O čemu se radi u matematici? Znamo o čemu se radi u biologiji; radi se o živim bićima. Ili preciznije, o fiziološkim aspektima živih bića – kretanje mačke bačene kroz prozor je stvar fizike, no njena fiziologija je tema biologije. Oceanografija se bavi oceanima; sociologija ljudskim ponašanjem u društvenim grupama kroz duži period; i tako dalje. Kada se izlože sve znanosti i njihovi subjekti, preostaje li još ijedan aspekt stvarnosti da bi se njime bavila matematika? To je osnovno pitanje filozofije matematike.

Ljudi ne brinu o filozofiji matematike na isti način na koji brinu, recimo, o filozofiji računovodstva. Možda je razlog u tome što evidentnost i objektivnost matematike, njenog zasvagda vrijedećeg establišmenta kao stijena stabilnih istina, stoji kao izazov mnogim općim filozofskim pozicijama. Nemaju samo ekstremno skeptički pogledi poput postmodernizma problem s matematikom. Problem s njom imaju i svi empiricistički i naturalistički pogledi koji se nadaju doći do punog „znanstvenog“ objašnjenja stvarnosti i našeg znanja o njoj. Problem nije u tome što je matematika istinita, nego što su njene istine apsolutno vrijedeće i da ljudski um može ustanoviti te nužnosti i razumjeti zašto one moraju biti nužne. Veoma je teško objasniti kako bi mozak objašnjen čisto fizičkim procesima bio u stanju tako nešto.

Jedan poznati filozof koji matematičku nužnost doživljava kao neugodnost je Peter Singer. U njegovom bestseleru o etici on tvrdi kako se ne možemo pouzdati u intuitivne etičke istine, budući da je najuvjerljiviji slučaj intuicije, u matematici, netočan. „Samoočiglednost osnovnih istina matematike“, kaže on, „može biti objašnjena… promatranjem matematike kao sistema tautologija… istinitih u odnosu na značenja termina koji se koriste.“ Singer griješi kad tvrdi kako je ova filozofija matematike, nazvana logicizam, „naširoko, ako ne i univerzalno prihvaćena“. Jer logicizam nije prihvaćen ni od jednog ozbiljnog filozofa matematike u zadnjih 100 godina. No jasno je zašto bi bilo tko, tko poput Singera želi objasniti neobičnu moć ljudske intuicije, mogao željeti da deflacijska filozofija matematike bude istinita.

Na pitanje: „Da li se matematika u suštini bavim ičim opipljivim?“, postoje dva odgovora: „Da i ne“. Oba odgovora su duboko nezadovoljavajuća.

Odgovor „ne“, čiji su zagovornici poznati kao nominalisti, tvrdi kako je matematika samo jezik, način govora o drugim stvarima, ili kolekcija logičnih trivijalnosti (kako tvrdi Singer), ili formalna manipulacija simbola prema određenim pravilima. Kako god uzmete ovaj odgovor, tu matematika nije znanost o nečem opipljivom. Onaj čiji susret s matematikom u školi i nije bio tako sretan („minus i minus daju plus/razlog za ovo ne moramo diskutirati“) mogao bi osjećati simpatiju s ovom nominalističkom slikom. No, to je također teorija privlačna fizicistima i inženjerima koji smatraju ozbiljna razmatranja o stvarnosti svojim poslom. Oni gledaju na Laplaceove tablice i transformacije i druge slične matematičke parafernalije kao, riječima njemačkog filozofa Carla Hempela, „teoretske mašine za sok“: korisne za dobivanje dodatnog smisla iz jedrih fizičkih propozicija, no same u sebi besadržajne.

Nominalizam bi se mogao gledati kao određeni poziv na prizemljivanje matematike, no daljnja refleksija sugerira kako nominalizam nije ispravan. Iako je manipulacija simbolima korisna kao tehnika, imamo snažno mnijenje da matematika donosi objektivna otkrića o području koje je na neki način „negdje tamo“. Uzmite suptilnost dijeljenja prostih brojeva. Neki su brojevi prosti, drugi nisu. Tucet jaja se može pakirati u kartone 6×2 ili 3×4, no jaja se ne prodaju u kartonima po 11 ili 13 jaja jer nema zgodnog načina da ih se rasporedi u takve kartone: 11 i 13, za razliku od 12, su prosti brojevi, a prosti brojevi ne mogu biti formirani umnožavanjem dvaju manjih brojeva. Ideja je veoma lako shvatljiva. No to ne znači da se tu nema ništa otkriti.

Ispada kako način na koji su prosti brojevi raspoređeni među brojevima uključuje kompleksnu međuigru uzoraka i iregularnosti. Gledamo li samo manje skupove brojeva, sljedeće je evidentno: postoje dugi nizovi bez prostih brojeva – beskonačno dugi nizovi, zapravo. Istovremeno, naširoko je rasprostranjeno uvjerenje kako postoji beskonačno mnogo parova prostih brojeva; tj. parova brojeva koji su jedan od drugoga razdvojeni samo jednim brojem a oba su prosti brojevi, poput 41 i 43.

Ako bacimo jedan širi pogled na ukupnost brojeva, utisak nereda blijedi i konačno postaju vidljivi uzorci. Prosti brojevi postaju postupno manje gusti kako se broji naviše: gustina prostih brojeva oko velikog broja je obrnuto proporcionalna njegovom redu veličine. Gustina prostih brojeva oko trilijuna (10¹²), npr. je upola velika kao gustina oko milijuna (10⁶). Više preciznih informacija o kompleksnosti distribucije prostih brojeva je sadrženo u Riemannovoj hipotezi, trenutno najpoznatijem nedokazanom nagađanju matematike.

Ovo je tipično za rezultate čiste matematike, od jednostavnih školskih činjenica kao što je djeljivost brojeva s 9 ako je zbroj njihovih znamenki djeljiv s 9, sve do viših dometa apstraktne algebre. Nemoguće je izbjeći zaključak kako čista matematika otkriva topografiju područja čije su istine postojale prije naših istraživanja i čak prije našeg jezika.

Inspiriran tom mišlju, platonizam predlaže filozofiju matematike suprotnu nominalizmu. On tvrdi kako je matematika znanost o području nefizičkih objekata kao što su brojevi i skupovi, apstraktne stvari koje postoje u tajanstvenom području formi izvan prostora i vremena. Ako to zvuči nategnuto, imajte na umu kako čisti matematičari zasigurno govore i često misle na taj način o svom subjektu. Platonizam se također dobro slaže s vidljivim uspjehom matematičkog dokaza, koji, čini se, demonstrira kako bi stvari morale biti u svim mogućim svjetovima, neovisno o tome kakvi bi zakoni prirode mogli biti u bilo kojem od tih svjetova. Zakon kako je kvadratni korijen od 2 iracionalan broj ne počiva ni na jednom zapažanjem ustanovljenom zakonu, sugerirajući kako je kvadratni korijen od 2 entitet izvan našeg promjenjivog svijeta prostora i vremena.

Ipak, unatoč svojim jasnim tezama i dugoj povijesti, ni platonizam ne može imati pravo. Od vremena samog Platona, nominalisti su iznosili neke veoma uvjerljive primjedbe. Evo jedne: ako apstraktne ideje plutaju negdje izvan našeg svemira, prostora i vremena, teško je zamisliti kako ih mi možemo vidjeti ili imati ikakav osjetni kontakt s njima. Kako onda znamo da su one tamo? Neki moderni platonisti tvrde kako ih mi zaključujemo, isto tako kako zaključujemo postojanje atoma kako bismo objasnili rezultate kemijskih pokusa. No to se ne čini isto kao način na koji znamo stvari o brojevima. Petogodišnjaci koji uče brojati ne izvode sofisticizirane zaključke o apstrakcijama; njihov kontakt s numeričkim aspektom realnosti je nekako više osjetan i direktan. Čak i životinje do nekog stupnja mogu brojati.

U svakom slučaju, problem s platonizmom nije toliko problem znanja koliko je problem njegovog pogleda na matematičke entitete. Svakako ako mjerimo, računamo ili predviđamo vrijeme matematički, imamo posla s matematičkim osobinama stvarnih stvari u ovom svijetu, kao što je njihova kvantiteta. Te osobine nisu apstraktne stvari: poput boja, one imaju uzročne sile koje rezultiraju time da ih možemo vidjeti. Vizualni sustav lako detektira te osobine kao što je odnos moje visine s tvojom (ako stojimo jedan pored drugoga). Tu nema prostora za apstraktne stvari iz drugih svjetova da uđu u priču, čak i ako one postoje.

Nominalisti i platonisti su se borili jedni protiv drugih do primirja, oboji otkrivajući fatalne mane u nazorima svojih protivnika, oboji nesposobni etablirati vlastitu poziciju. Krenimo ispočetka.

Zamislite Zemlju prije nego što je bilo ljudi koji misle matematički ili pišu formule. Tu su bili dinosauri, mali i veliki, drveće, vulkani, rijeke i vjetrovi… Da li je u takvom svijetu bilo bilo kakvih osobina matematičke prirode (govorimo što neobvezatnije moguće)? To jest, da li je među osobinama stvarnih stvari u tom svijetu (ne nekom apstraktnom svijetu) bilo nekih koje možemo prepoznati kao matematičke.

Bilo je mnogo takvih osobina. Na primjer, simetrija. Poput većine životinja, dinosauri su imali približno bilateralnu simetriju. Drveće i vulkani su imali približno kružnu simetriju s nasumičnim elementima – gledano odozgo, izgledali su kao da su rotirani oko svoje osi. Isto vrijedi i za jaja. No simetrija, bilo točna ili približna, je osobina koja i nije baš skroz fizička. Nefizičke stvari mogu također imati simetriju; argumenti, npr, imaju simetriju ako zadnja polovina ponavlja prvu polovinu obrnutim redoslijedom. Simetrija je nekontroverzna matematička osobina, i važna grana čiste matematike – teorija grupa – je posvećena klasificiranju njenih vrsta. Kada se simetrija ostvari u fizičkim stvarima, ona je često veoma očita za primijetiti; ako imaš asimetrično lice, ne idi u politiku, jer će to neposredno napraviti loš utisak na tv-u. Simetrija, kao i druge matematičke osobine, može imati uzročne sile, za razliku od apstraktnih stvari kako ih poima platonizam.

Još jedna matematička osobina, koja je poput simetrije lako opaziva u mnogim vrstama fizičkih stvari, je omjer. Visina velikog dinosaura stoji u određenom odnosu prema visini malog dinosaura. Odnos njihovih volumena je drugačiji – u stvari odnos njihovih volumena je mnogo veći od odnosa njihovih visina, što velike dinosaure čini nezgrapnima a manje bodrima i pokretnima. Zadani omjer je nešto što može biti odnos dviju visina, ili dva volumena, ili dva vremenska intervala; odnos je ono što te relacije između različitih vrsta fizičkih entiteta dijele i stoga je to više matematička osobina nego visina, volumen i sl., koje su fizičke osobine. Omjer je ono što mjerimo kada određujemo kakav odnos dužina (ili volumen, ili vrijeme, itd.) jedne jedinice ima s dužinom druge proizvoljno izabrane jedinice. Kako bi to Isaac Newton sročio u svom jedinstveno učenom jeziku: „Pod brojem ne razumijevamo toliko mnoštvo jedinica, koliko razumijevamo apstraktni omjer bilo koje kvantitete prema drugoj kvantiteti iste vrste, i taj apstraktni omjer razumijevamo kao jedinstvo.“

Bilo kakva digresija u područje primijenjene matematike – rijetko poduzeta od strane filozofa matematike, koji preferiraju sigurno tlo brojeva i logike – će kod budnog promatrača pokazati mnoga druga kvantitativna i strukturalna svojstva koja sama po sebi nisu fizička već mogu biti ostvarena u fizičkom svijetu (i u bilo kojem drugom svijetu koji bi mogao postojati): nizovi, odnosi, kontinuitet i zasebnosti, alternacije, linearnost, povratna veza, topologija mreže i mnoge druge.

Postoji naziv za filozofiju matematike koja naglašava način na koji se matematičke osobine pojavljuju u stvarnom svijetu. Naziv te filozofije je aristotelijanski realizam. On je zasnovan na Aristotelovom svjetonazoru, suprotnu onome njegovom učitelja Platona, da su osobine stvari stvarne i da su u stvarima samim, a ne u nekom drugom svijetu ideja. Verzija tog nazora, koja je držala kako je matematika „znanost o kvantitetu“, bila je zapravo vodeća filozofija matematike sve do vremena Newtona, no ideja je otada uvelike iščeznula sa scene.

Zbog toga što aristotelijanski realizam inzistira na ostvarivosti matematičkih veličina u svijetu, on može dati jednostavno rješenje problema kako su nam poznate osnovne matematičke činjenice: opažanjem, na isti način kao i druge osnovne činjenice. Omjeri i visine su vidljivi (naravno, do stupnja procjene). Djeca i životinje vidljivo imaju sposobnost prepoznati uzorak i procijeniti broj, oblik i simetriju.

Naše razvijene ljudske intelektualne sposobnosti dodaju dvije stvari tim jednostavnim opažajima. Prva stvar je vizualizacija koja nam dopušta da razumijemo nužne odnose između matematičkih činjenica. Pokušajte ovu laku mentalnu vježbu: zamislite šest križeva poredanih u dva reda po tri križa, prvi red direktno iznad drugoga. Mogu jednako tako zamisliti istih šest križeva u tri reda s po dva križa. Prema tome je 2×3=3×2. Ne samo da primjećujem kako je 2×3 zapravo jednako 3×2, nego i razumijem zašto 2×3 mora biti jednako 3×2. Platonisti su imali pravo kad su upozoravali na sposobnost ljudskog uma da pojmi matematičke nužnosti; oni su samo previdjeli da su te nužnosti često ostvarene u ovom svijetu. Druga intelektualna sposobnost kojom ljudski um produžava rezultate opažanja je dokaz. Matematički dokazi vežu niz uvida, individualnih uvida poput „2×3=3×2“, kako bi demonstrirali nužnosti koje se ne mogu razumjeti opažanjem, kao što je činjenica da gustina prostih brojeva opada kod većih brojeva.

Aristotelijanski realizam stoji u teškom odnosu s naturalizmom, projektom pokazivanja kako sav svijet i ljudsko znanje mogu biti objašnjeni pojmovima fizike, biologije i neuroznanosti. Ako su matematičke osobine ostvarene u fizičkom svijetu i sposobne su biti primijećene opažanjem, tada se matematika može činiti ništa lakše objašnjivom od opažanja boja, koje svakako može biti objašnjeno naturalističkim pojmovljem. S druge strane, aristotelijanci se slažu s platonistima kako je matematičko razumijevanje nužnosti tajanstveno. Ono što je nužno jest istinito u svim mogućim svjetovima, no kako može opažanje vidjeti u druge moguće svjetove? Skolastici, aristotelijanski katolički filozofi srednjeg vijeka su bili toliko impresionirani sa sposobnošću uma da dokuči nužne istine da su zaključili kako je intelekt nematerijalan i besmrtan. Ako se današnji naturalisti ne žele slagati s tim, eto im izazova. „Nemoj mi govoriti, pokaži mi“: napravite sustav umjetne inteligencije kadar imitirati stvarni matematički uvid. Čini se kako još nema obećavajućih planova za takvo nešto.

Standardne alternative u filozofiji matematike nisu uspjele uvidjeti najjednostavnije činjenice o tome kako nam matematika govori o svijetu u kojem živimo – nominalizam, reducirajući matematiku na trivijalnosti, platonizam razdvajajući matematiku od stvarnog svijeta u kojem su matematičke istine potreban kostur. Aristotelijanski realizam je novi početak. On povezuje filozofiju matematike s primjenom koja je uvijek bila plodno tlo iz kojega raste matematika. On ima poruku i za filozofiju i za matematiku i njeno učenje: nemojte se zaslijepiti preslažući simbole, nemojte nestati u sferi apstrakcija, samo usredotočite oko na matematičku strukturu stvarnog svijeta.

Autor: James Franklin, profesor matematike na Univerzitetu Novi Južni Wales u Sydneyu. Autor je knjige Aristotelska realistička filozofija matematike